ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35750
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

Подсказка

Проведите средние линии треугольника.

Решение

Пусть M, N и K - середины сторон AB, CD и BC четырехугольника ABCD, причем прямая MN образует равные углы с диагоналями. Поскольку MK и KN - средние линии треугольников ABC и BCD, то углы KMN и KMN равны. Поэтому треугольник MKN - равнобедренный, MK=KN. Следовательно, AC=BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .