Задача 35750

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

Подсказка

Проведите средние линии треугольника.

Решение

Пусть $M$, $N$ и $K$ – середины сторон $AB$, $CD$ и $BC$ четырехугольника $ABCD$, причем прямая $MN$ образует равные углы с диагоналями. Поскольку $MK$ и $KN$ – средние линии треугольников $ABC$ и $BCD$, то углы $KMN$ и $KNM$ равны. Поэтому треугольник $MKN$ – равнобедренный, $MK=KN$. Следовательно, $AC=BD$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача