Условие
В выпуклом четырехугольнике прямая,
проходящая через середины двух противоположных сторон,
образует равные углы с диагоналями четырехугольника.
Докажите, что диагонали равны.
Подсказка
Проведите средние линии треугольника.
Решение
Пусть $M$, $N$ и $K$ – середины сторон $AB$, $CD$ и $BC$ четырехугольника
$ABCD$, причем прямая $MN$ образует равные углы с диагоналями.
Поскольку $MK$ и $KN$ – средние линии треугольников $ABC$ и $BCD$,
то углы $KMN$ и $KNM$ равны.
Поэтому треугольник $MKN$ – равнобедренный, $MK=KN$. Следовательно,
$AC=BD$.
Источники и прецеденты использования
