Условие
Докажите, что в любом неравнобедренном
треугольнике биссектриса лежит между медианой
и высотой, проведенными из той же вершины.
Подсказка
Используйте окружность, описанную вокруг треугольника.
Решение
Пусть в треугольнике ABC точки H, D и M -
основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы,
проведенных из вершины B.
Опишем около треугольника ABC окружность.
Пусть P - точка пересечения прямой BD с
этой окружностью. Тогда P - середина дуги AC.
Поэтому прямая, проведенная через точку P параллельно
BH, перпендикулярна хорде AC и проходит через ее середину,
т. е. точку M.
Поскольку точки B и P лежат по разные стороны от прямой AC,
то точка D лежит между проекциями концов отрезка BP,
т. е. между точками H и M.
Источники и прецеденты использования
