Задача 35758

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета.
Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.

Подсказка

В правильном пятиугольнике каждые три вершины образуют равнобедренный треугольник.

Решение

Рассмотрим правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность. Из его пяти вершин хотя бы три окрашены в один цвет. Они и являются вершинами равнобедренного треугольника с вершинами одного цвета.

Замечания

Ср. с задачей 35643.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача