Задача 35802

Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.

Подсказка

Запишите выражение для площади треугольника через радиус вписанной окружности и стороны, а также через высоты и стороны.

Решение

Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник, a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон. Обозначим также за h_a, h_b, h_c длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c. Запишем выражение для площади S треугольника. С одной стороны, S=(a+b+c)r/2. С другой стороны, S=ah_a/2. Отсюда следует равенство h_a/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a. Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1. Таким образом, h_a=h_a/r не превосходит 3, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача