ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 36995
Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.


Решение

Первый способ. Проведем EF — среднюю линию треугольника ADC (см. рис. а). Тогда , так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины F, совпадают. Кроме того, так как (EF) || (AC), то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые EF и AC относятся, как |BE| : |BK|, поэтому, . Перемножив почленно полученные равенства, имеем: , ч. т. д.

Второй способ. Пусть a, c, f и d — длины перпендикуляров, опущенных на прямую из точек A, C, F и D соответственно (см. рис. б). Тогда c = d; . Следовательно, , ч. т. д.

Рис. а Рис. б Рис. в

Третий способ. Проведем отрезки BD и DK (см. рис. в). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то: 2SΔBKF = 2(SABCDSΔBCESΔABFSΔFKDSΔDKE) = 2SABCDSΔBCDSΔABDSΔAKDSΔDKC = SABCDSΔACD = SΔABC, ч. т. д.

Четвертый способ. Проведем отрезки BD и EF (см. рис. а или рис. в). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то SΔBСЕ = SΔBСD и SΔABF = SΔABD. Кроме того, так как EF — средняя линия треугольника ADC, то SΔDEF = SΔEFK = SΔACD. Следовательно, SΔBKF = SABCDSΔABFSΔBCE SDFKE = (SΔABD + SΔBCD + SΔACD) = SΔABC, ч. т. д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 02 (2004 год)
Дата 2004-04-11
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .