Задача 52339

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

Подсказка

Разберите три случая: центр окружности лежит на стороне угла, внутри угла, вне угла.

Решение

  Пусть центр O окружности лежит на стороне AB вписанного угла BAC (рис. слева). Поскольку BOC – внешний угол равнобедренного треугольника AOC, то  ∠BOC = ∠BAC + ∠ACO = 2∠BAC.  Следовательно, ∠BAC = ½ ∠BOC, то есть вписанный угол BAC равен половине центрального угла BOC, или половине дуги BC, не содержащей точки A.

  Пусть центр окружности лежит между сторонами вписанного угла BAC. Проведём диаметр AA₁. Тогда луч AA₁ лежит между сторонами угла BAC. Поэтому  ∠BAC = ∠BAA₁ + ∠CAA₁.
  Поскольку центр окружности лежит на общей стороне вписанных углов BAA₁ и CAA₁, то по доказанному  ∠BAA₁ = ½ ∠BOA₁,  ∠CAA₁ = ½ ∠COA₁.  Следовательно,  ∠BAC = ½ (∠BOA₁ + ∠COA₁) = ½ ∠BOC.
  Наконец, пусть центр окружности лежит вне угла BAC. Если при этом луч AB проходит между сторонами угла CAA₁, то
∠BAC = ½ ∠СAA₁ – ½ ∠BAA₁ = ½ ∠COA₁ – ½ ∠BOA₁ = ½ (∠COA₁ – ∠BOA₁) = ½ ∠BOC.

Замечания

Следствие. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну хорду, равны, если их вершины расположены по одну сторону от этой хорды, и составляют в сумме 180° в противном случае.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
Задача
Номер	1