ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52339
Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.


Подсказка

Разберите три случая: центр окружности лежит на стороне угла, внутри угла, вне угла.


Решение

  Пусть центр O окружности лежит на стороне AB вписанного угла BAC (рис. слева). Поскольку BOC – внешний угол равнобедренного треугольника AOC, то  ∠BOC = ∠BAC + ∠ACO = 2∠BAC.  Следовательно, ∠BAC = ½ ∠BOC, то есть вписанный угол BAC равен половине центрального угла BOC, или половине дуги BC, не содержащей точки A.

  Пусть центр окружности лежит между сторонами вписанного угла BAC. Проведём диаметр AA1. Тогда луч AA1 лежит между сторонами угла BAC. Поэтому  ∠BAC = ∠BAA1 + ∠CAA1.
  Поскольку центр окружности лежит на общей стороне вписанных углов BAA1 и CAA1, то по доказанному  ∠BAA1 = ½ ∠BOA1,  ∠CAA1 = ½ ∠COA1.  Следовательно,  ∠BAC = ½ (∠BOA1 + ∠COA1) = ½ ∠BOC.
  Наконец, пусть центр окружности лежит вне угла BAC. Если при этом луч AB проходит между сторонами угла CAA1, то
BAC = ½ ∠СAA1 – ½ ∠BAA1 = ½ ∠COA1 – ½ ∠BOA1 = ½ (∠COA1 – ∠BOA1) = ½ ∠BOC.

Замечания

Следствие. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну хорду, равны, если их вершины расположены по одну сторону от этой хорды, и составляют в сумме 180° в противном случае.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .