Задача 52356

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  ¹/_PQ = ¹/_PB + ¹/_PC.

Подсказка

Рассмотрите пары подобных треугольников.

Решение

Треугольники BQP и AQC подобны, поэтому  ^AC/_BP = ^QC/_PQ.  Аналогично  ^AB/_PC = ^BQ/_PQ.  Сложив эти два равенства, получим
^AC/_BP + ^AB/_PC = ^QC/_PQ + ^BQ/_PQ = ^BQ+QC/_PQ = ^BC/_PQ.  Поскольку  AC = AB = BC,  то  ¹/_BP + ¹/_PC = ¹/_PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	18