В таблице $n\times n$ стоят все целые числа от 1 до $n^2$, по одному в клетке. В каждой строке числа возрастают слева направо, в каждом столбце – снизу вверх. Докажите, что наименьшая возможная сумма чисел на главной диагонали, идущей сверху слева вниз направо, равна $1^2+2^2+\ldots+n^2$.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла.

Подсказка

Примените метод геометрических мест точек.

Решение

Искомая вершина, противоположная данной стороне, принадлежит пересечению двух геометрических мест точек: а) прямой, параллельной основанию и удалённой от него на расстояние, равное данной высоте; б) дуге окружности, из каждой точки которой данное основание видно под данным углом.

Источники и прецеденты использования