Информация о задаче

Задача 52361

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9
Название задачи: Обобщенная теорема синусов..

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Подсказка

Пусть A — рассматриваемый угол. Проведите диаметр окружности через точку B (или C).

Решение

Пусть A — вершина острого угла ABC. Проведём диаметр BB₁. Тогда угол BB₁C равен углу BAC, а угол BCB₁ — прямой. Из прямоугольного треугольника BCB₁ находим, что

BC = BB₁sin $\displaystyle \angle$ BB₁C = 2R sin $\displaystyle \angle$ A,

где R — радиус окружности.

Если угол A — тупой, то в прямоугольном треугольнике BCB₁

$\displaystyle \angle$ BB₁C = 180^o - $\displaystyle \angle$ A.

Тогда

BC = BB₁sin $\displaystyle \angle$ BB₁C = BB₁sin(180^o - $\displaystyle \angle$ A) = 2R sin $\displaystyle \angle$ A.

Если $\angle$ A = 90^o, то BC = 2R = 2R sin 90^o.

Следовательно, во всех случаях ${\frac{a}{\sin \angle A}}$ = 2R.

Следствие. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов (теорема синусов), т.е.

$\displaystyle {\frac{a}{\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{\sin \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin \angle C}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	23