Информация о задаче

Задача 52373

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ A = 60^o, $\angle$ B = 45^o. Продолжения высот треугольника ABC описанную около него окружность в точках M, N, P. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MNP.

Подсказка

Углы треугольника MNP равны 60^o, 90^o, 30^o.

Решение

Пусть продолжения высот треугольника ABC, проведённых из вершин A, B и C, пересекают описанную около него окружность в точках M, N и P соответственно. В треугольнике MNP

$\displaystyle \angle$ M = $\displaystyle \angle$ NMP = $\displaystyle \angle$ NMA + $\displaystyle \angle$ PMA = $\displaystyle \angle$ NBA + $\displaystyle \angle$ ACP =

= (90^o - $\displaystyle \angle$ A) + (90^o - $\displaystyle \angle$ A) = 30^o + 30^o = 60^o.

Аналогично $\angle$ P = 30^o и $\angle$ N = 90^o.

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда

MN = 2R sin $\displaystyle \angle$ P = 2R sin 30^o = R,

NP = 2R sin $\displaystyle \angle$ M = 2R sin 60^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

S_MNP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN^.NP = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}$ ;

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ B = 2R sin 45^o = R $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ A = 2R sin 60^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BC sin $\displaystyle \angle$ C = R^{2 .} $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{2}}$ ^.sin 75^o.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta MNP}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ sin 75^o.

Ответ

$\sqrt{2}$ sin 75^o = ${\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	35