Задача 52377

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : BD = 1 : 3. Высота, опущенная из вершины C прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите катет BC.

Подсказка

CD — высота треугольника ACD.

Решение

Поскольку угол BDC вписан в указанную окружность и опирается на её диаметр BC, то BDC = 90^o. Поэтому CD — высота треугольника ABC.

Обозначим AD = x, BD = 3x. Поскольку CD² = AD ^. DB, то 3x² = 9. Отсюда находим, что x² = 3. Следовательно,

BC² = CD² + BD² = 9 + 9x² = 9 + 27 = 36,

а BC = 6.

Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	39