Задача 52379

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O,  ∠BOA = ∠COD = 60°.  Перпендикуляр BK, опущенный на сторону AD, равен 6;  AD = 3BC.
Найдите площадь треугольника COD.

Подсказка

ABCD – равнобедренная трапеция.

Решение

Поскольку  ⌣AB = ⌣CD,  то  BC || AD.  Поэтому ABCD – равнобедренная трапеция.  ∠BDA = ½ ∠AOB = 30°,  значит,  KD = BK ctg 30° = 6,  С другой стороны, KD = ½ (AD + BC) = 2BC,  откуда  AK = BC = 3,  AB² = AK² + BK² = 63.  Треугольник AOB равносторонний, следовательно,  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	41