Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  P(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).
  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна   1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
  б) Докажите, что  

   Решение

Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%.
Когда шайбы стоили дороже – до подорожания или после удешевления?

   Решение

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан угол в 30^o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.

Подсказка

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^o, равен половине гипотенузы.

Решение

Поскольку катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^o, равен половине гипотенузы, расстояние от центра окружности до вершины угла равно 5.

С центром в точке, удалённой от вершины угла на расстояние, равное 5, проводим окружность радиуса 2,5.

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования