Задача 52405

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC даны углы B и C. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, а описанную окружность треугольника ABC – в точке E.
Найдите отношение AE : DE.

Подсказка

Докажите, что треугольник BDE подобен треугольнику ABE.

Решение

  Поскольку  ∠DBE = ∠CBE = ∠CAE = ∠BAE,  то треугольник BDE подобен треугольнику ABE. Значит,  ^DE/_BE = ^BE/_AE,  DE = ^BE2/_AE.
  Пусть   ∠A = α,  R – радиус окружности. Тогда  AE = 2R sin∠ABE = 2R sin(β + ^α/₂) = 2R sin(β + 90° – ^β/₂ – ^γ/₂) = 2R cos(^γ/₂ – ^β/₂),
BE = 2R sin∠BAE = 2R sin ^α/₂ = 2R cos(^γ/₂ + ^β/₂).
  Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	67