Информация о задаче

Задача 52414

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а PQ = 2 $\sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Подсказка

Треугольники BPQ и BAC подобны с коэффициентом ${\frac{1}{3}}$ .

Решение

Треугольники BPQ и BAC подобны по двум углам. Поскольку отношение их площадей равно ${\frac{2}{18}}$ = ${\frac{1}{9}}$ , то коэффициент подобия равен ${\frac{1}{3}}$ . Значит, AC = 3PQ = 6 $\sqrt{2}$ .

С другой стороны, коэффициент подобия равен ${\frac{BP}{AB}}$ = cos $\angle$ B. Поэтому cos $\angle$ B = ${\frac{1}{3}}$ . Тогда sin $\angle$ B = ${\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ . Если R — радиус описанной окружности треугольника ABC, то

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ .

Ответ

${\frac{9}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	76