Информация о задаче

Задача 52425

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Подсказка

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Решение

Пусть AB — хорда, AM — касательная, O — центр окружности. Обозначим через $\alpha$ градусную меру меньшей дуги AB.

Первый способ.

Пусть $\angle$ MAB < 90^o. Из центра окружности опустим перпендикуляр OP на AB. Тогда каждый из углов MAB и AOP дополняет угол OAB до 90^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle \angle$ AOP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \alpha$ .

Пусть $\angle$ MAB > 90^o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда $\angle$ M'AB < 90^o. По доказанному $\angle$ M'AB = ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ AOB, поэтому

$\displaystyle \angle$ MAB = 180^o - $\displaystyle \angle$ M'AB = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (360^o - $\displaystyle \alpha$ ).

Осталось заметить, что 360^o - $\alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $\angle$ MAB = 90^o, то утверждение очевидно.

Второй способ.

Пусть $\angle$ MAB < 90^o. Через точку B проведём хорду BC, параллельную AM. Тогда

$\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \alpha$ .

Осталось заметить, что 360^o - $\alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $\angle$ MAB = 90^o, то утверждение очевидно.

Третий способ.

Пусть $\angle$ MAB < 90^o. Продолжим AO до пересечения с окружностью в точке K и соединим точки K и B. Тогда $\angle$ ABK = 90^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle \angle$ KAM - $\displaystyle \angle$ KAB = 90^o - $\displaystyle \angle$ KAB = $\displaystyle \angle$ AKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \alpha$ .

Осталось заметить, что 360^o - $\alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $\angle$ MAB = 90^o, то утверждение очевидно.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	87