ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52425
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.


Подсказка

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.


Решение

Пусть AB — хорда, AM — касательная, O — центр окружности. Обозначим через $ \alpha$ градусную меру меньшей дуги AB.

Первый способ.

Пусть $ \angle$MAB < 90o. Из центра окружности опустим перпендикуляр OP на AB. Тогда каждый из углов MAB и AOP дополняет угол OAB до 90o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$AOP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$.

Пусть $ \angle$MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда $ \angle$M'AB < 90o. По доказанному $ \angle$M'AB = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$AOB, поэтому

$\displaystyle \angle$MAB = 180o - $\displaystyle \angle$M'AB = 180o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(360o - $\displaystyle \alpha$).

Осталось заметить, что 360o - $ \alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $ \angle$MAB = 90o, то утверждение очевидно.

Второй способ.

Пусть $ \angle$MAB < 90o. Через точку B проведём хорду BC, параллельную AM. Тогда

$\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$.

Пусть $ \angle$MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда $ \angle$M'AB < 90o. По доказанному $ \angle$M'AB = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$AOB, поэтому

$\displaystyle \angle$MAB = 180o - $\displaystyle \angle$M'AB = 180o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(360o - $\displaystyle \alpha$).

Осталось заметить, что 360o - $ \alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $ \angle$MAB = 90o, то утверждение очевидно.

Третий способ.

Пусть $ \angle$MAB < 90o. Продолжим AO до пересечения с окружностью в точке K и соединим точки K и B. Тогда $ \angle$ABK = 90o. Поэтому

$\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$KAM - $\displaystyle \angle$KAB = 90o - $\displaystyle \angle$KAB = $\displaystyle \angle$AKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$.

Пусть $ \angle$MAB > 90o. На луче, дополнительном к лучу AM, возьмём точку M'. Тогда $ \angle$M'AB < 90o. По доказанному $ \angle$M'AB = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$AOB, поэтому

$\displaystyle \angle$MAB = 180o - $\displaystyle \angle$M'AB = 180o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(360o - $\displaystyle \alpha$).

Осталось заметить, что 360o - $ \alpha$ — градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB.

Если $ \angle$MAB = 90o, то утверждение очевидно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 87

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .