Информация о задаче

Задача 52427

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.

Подсказка

Продолжите луч AB до пересечения с общей касательной в точке C; $\angle$ CTM = $\angle$ MAT + $\angle$ AMT.

Решение

Пусть луч AB пересекает общую касательную в точке C (B между A и C). Обозначим

$\displaystyle \angle$ CMT = $\displaystyle \varphi$ , $\displaystyle \angle$ CMB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMT = $\displaystyle \gamma$ .

Тогда CM = CT как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, треугольник MCT — равнобедренный. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ MAT = $\displaystyle \angle$ CMB = $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ CTM = $\displaystyle \angle$ CMT = $\displaystyle \varphi$ , $\displaystyle \angle$ MTB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \varphi$

(внешний угол треугольника AMT). Следовательно,

$\displaystyle \angle$ TMB = $\displaystyle \varphi$ - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \gamma$ .