Задача 52430

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны две окружности, пересекающиеся в точках A и D; AB и CD – касательные к первой и второй окружностям (B и C – точки на окружностях).
Докажите, что  AC : BD = CD² : AB².

Подсказка

Треугольники DAC и BDA подобны.

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠BAD = ∠ACD  и  ∠ABD = ∠ADC.  Поэтому треугольники DAC и BDA подобны. Следовательно,  AD : DB = CD : AB,  AC : AD = CD : AB.  Перемножив почленно эти равенства, получим, что  AC : BD = CD² : AB².

Замечания

Ср. с задачей 55390.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	92