Информация о задаче

Задача 52449

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Медианы AM и BE треугольника ABC пересекаются в точке O. Точки O, M, E, C лежат на одной окружности. Найдите AB, если BE = AM = 3.

Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

Поскольку OE = ${\frac{1}{3}}$ BE и OM = ${\frac{1}{3}}$ AM, то OE = OM. Поэтому CO — биссектриса угла ECM.

Из равенства медиан BE и AM следует, что треугольник ABC -- равнобедренный. Поэтому EC = CM. Тогда треугольники CEO и CMO равны, а т.к.

$\displaystyle \angle$ CEO + $\displaystyle \angle$ CMO = 180^o,

то

$\displaystyle \angle$ CEO = $\displaystyle \angle$ CMO = 90^o,

т.е. медианы AM и BE являются высотами. Поэтому треугольник ABC — равносторонний. Следовательно,

AB = $\displaystyle {\frac{AM}{\sin 60^{\circ}}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

2 $\sqrt{3}$ .


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	111