Информация о задаче

Задача 52480

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проводится прямая, пересекающая вторично окружности в точках C и D, а затем через точки C и D проводятся касательные к этим окружностям. Докажите, что точки A, C, D и точка P пересечения касательных лежат на одной окружности.

Подсказка

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ DCP, $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ CDP.

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ DCP, $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ CDP.

Поэтому

$\displaystyle \angle$ CPD = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ DCP + $\displaystyle \angle$ CDP) = 180^o - $\displaystyle \angle$ CAD.

Значит, четырёхугольник ACPD — вписанный. Следовательно, точки A, C, D и P лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	143