Задача 52484

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC зелёной краской отметили соответственно точки C₁, A₁ и B₁, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A,  а ∠A = ∠B₁A₁C₁. Докажите, что треугольник с зелёными вершинами подобен треугольнику ABC.

Подсказка

На стороне BC возьмите такую точку M, для которой  C₁M || AC.  Тогда около четырёхугольника MC₁B₁A₁ можно описать окружность.

Решение

  Пусть M – такая точка на стороне BC, для которой C₁M || AC.  Тогда  CM : MB = AC₁ : C₁B = CB₁ : B₁A.  Поэтому  MB₁ || AB.  Значит,  ∠B₁MC₁ = ∠A = ∠B₁A₁C₁.
  Поскольку отрезок B₁C₁ виден из точек M и A₁ под одним и тем же углом, то точки C₁, M, A₁ и B₁ лежат на одной окружности. Следовательно,
∠A₁C₁B₁ = ∠CMB₁ = ∠B,  и треугольники ABC и A₁C₁B₁ подобны по двум углам.

Замечания

На рисунке изображён случай, когда точка M лежит между B и A₁. В случае, когда лежит между A₁ и C все равенства остаются верными. Случай, когда M совпадает с A₁, очевиден (тогда точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон треугольника ABC).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	147