Задача 52491

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Три окружности имеют общую точку M и попарно пересекаются в точках P, Q, R. Через произвольную точку A одной из окружностей, лежащую на дуге PQ, не содержащей точки M, и точки P и Q, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две окружности в точках B и C. Докажите, что точки B, C и R лежат на одной прямой.

Подсказка

Докажите, что  ∠BRM + ∠CRM = 180°.

Решение

Четырёхугольники BRMP, APMQ и CQMR – вписанные. Поэтому  ∠BRM + ∠CRM = ∠APM + ∠AQM = 180°.  Следовательно, точки B, C и R лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	154