Информация о задаче

Задача 52512

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Известно, что центры окружностей, вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABC, совпадают. Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Пусть F — точка пересечения луча AK с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольник FAB — равнобедренный.

Решение

Пусть O — центр окружностей, F — точка пересечения луча AK с описанной окружностью. Поскольку лучи AF и AB образуют одинаковые углы с диаметром, проходящим через точку A, то треугольник FAB — равнобедренный.

Пусть $\angle$ BAO = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ OAF = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BAC = 4 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ AFB = 90^o - $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ AKC = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ - (90^o - $\displaystyle \alpha$ ) = 90^o - $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ ABC = 2 $\displaystyle \angle$ ABO = 2 $\displaystyle \angle$ BAO = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

90^o - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \angle$ AKC = $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle \angle$ BAK = 4 $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, $\alpha$ = 18^o.

Ответ

72^o, 72^o, 36^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	175