Задача 52513

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке K.
Докажите, что проекция отрезка AK на прямую AB равна полусумме сторон AB и AC.

Подсказка

Отложите на луче AC отрезок AP равный AB. Докажите, что треугольник CKP – равнобедренный.

Решение

  Пусть  AC ≥ AB,  F – проекция точки K на прямую AB. Отложим на луче AC отрезок AP, равный AB. Пусть K₁ – проекция точки K на AC. Поскольку
∠CAK = ∠KAB  и треугольники APK и ABK равны (по двум сторонам и углу между ними), то   PK = KB = KC.  Поэтому K₁ – середина PC.
  Из равенства треугольников AK₁K и AFK следует, что  AK₁ = AF.  Но  AK₁ = ½ (AC + AP) = ½ (AC + AB).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	176