Задача 52516

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Струков С.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из середины стороны BC на прямую DE.

Решение

Поскольку из точек D и E отрезок BC виден под прямым углом, то точки B, C, D и E лежат на окружности с центром в середине O стороны BC.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на DE. Тогда DH = HE (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам) и GH = HF, т.к. OH — средняя линия трапеции BFGH. Следовательно, EF = DG.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	179