Информация о задаче

Задача 52517

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Меркурьев А.С.

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD на сторонах AB и CD выбраны точки K и M. Докажите, что если $\angle$ BAM = $\angle$ CDK, то $\angle$ BMA = $\angle$ CKD.

Подсказка

Точки A, K, M, D принадлежат одной окружности, и точки K, B, C, M также принадлежат одной окружности.

Решение

Точки A, K, M, D лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ KMD = 180^o - $\displaystyle \angle$ KAD = $\displaystyle \angle$ KBC, $\displaystyle \angle$ KMC + $\displaystyle \angle$ KBC = 180^o.

Тогда точки K, B, C, M также лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CKD = $\displaystyle \angle$ CKM + $\displaystyle \angle$ MKD = $\displaystyle \angle$ CBM + $\displaystyle \angle$ MAD =

= 180^o - ( $\displaystyle \angle$ BAM + $\displaystyle \angle$ MBA) = $\displaystyle \angle$ BMA.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	180