Задача 52555

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром вписанной окружности. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Пусть O — общий центр вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Тогда треугольники AOB, AOC, BOC — равнобедренные, а CO, AO и BO — биссектрисы углов C, A и B.

Решение

Пусть O — общий центр вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Треугольник AOC — равнобедренный. Поэтому OAC = OCA. Поскольку AO и CO — биссектрисы углов BAC и BCA, то BAC = BCA. Аналогично BAC = ABC.

Ответ

60^o, 60^o, 60^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	220