Задача 52578

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 , O — центры окружностей S1 , S2 , S3 , S соответственно; A1 , A2 , A3 — точки касания окружностей S1 , S2 , S3 с окружностью S .
Предположим, что точка M лежит на дуге A1A2 , не содержащей точки A3 . Обозначим через α , β , γ углы между лучом OM и лучами OO1 , OO2 , OO3 соответственно. Тогда, если r — радус каждой из трёх меньших окружностей, а R — радиус большей, то по теореме косинусов

MO12 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos α,

MO22 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos β,

MO32 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos γ.
Тогда квадраты касательных, проведённых из точки M к окружностям S1 , S2 , S3 , соответственно равны:
MO12 - r2 = 2R(R-r)(1 - cos α) = 4R(R - r) sin 2 ,

MO22 - r2 = 2R(R-r)(1- cos β) = 4R(R-r) sin 2 ,

MO32 - r2 = 2R(R - r)(1 - cos γ) = 4R(R - r) sin 2 .
Поэтому касательные равны
2 sin , 2 sin , 2 sin
(синусы неотрицательны, т.к.
0 180^o, 0 180^o, 0 180^o).
Осталось проверить равенство
sin = sin + sin .

Действительно, рассмотрим равносторонний треугольник A1A2A2 . Точка M лежит на его описанной окружности, поэтому MA1+MA2=MA3 , а т.к.
MA1=2R sin , MA2=2R sin , MA1=2R sin ,
то
2R sin + 2R sin = 2R sin .

Следовательно,
sin = sin + sin .
Что и требовалось доказать.
Указание. Утверждение останется верным, если в качестве S1 , S2 , S3 взять любые равные окружности с центрами в вершинах правильного треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	243
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М18б