Информация о задаче

Задача 52580

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Сумма длин диагоналей четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах OA и OB четверти AOB круга построены как на диаметрах полуокружности ACO и OCB, пересекающиеся в точке C. Докажите, что:

1) прямая OC делит угол AOB пополам;

2) точки A, C и B лежат на одной прямой;

3) дуги AC, CO и CB равны между собой.

Подсказка

Соответствующие дуги равных полуокружностей, стягиваемых равными хордами, равны между собой. Если OC $\perp$ AC и OC $\perp$ BC, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Решение

Дуги OC двух полуокружностей равны, т.к. они стягиваются равными хордами. Поэтому равны и дополняющие их до равных полуокружностей дуги AC и BC. Следовательно, равны опирающиеся на них вписанные углы AOC и BOC.

$\angle$ ACO = $\angle$ BCO = 90^o, как вписанные углы, опирающиеся на диаметры. Поэтому ACB — одна прямая.

$\cup$ AC = $\cup$ CO = $\cup$ CB, т.к. опирающиеся на эти дуги вписанные углы равны по 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	245