ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52580
Темы:    [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах OA и OB четверти AOB круга построены как на диаметрах полуокружности ACO и OCB, пересекающиеся в точке C. Докажите, что:

1) прямая OC делит угол AOB пополам;

2) точки A, C и B лежат на одной прямой;

3) дуги AC, CO и CB равны между собой.


Подсказка

Соответствующие дуги равных полуокружностей, стягиваемых равными хордами, равны между собой. Если OC $ \perp$ AC и OC $ \perp$ BC, то точки A, B и C лежат на одной прямой.


Решение

Дуги OC двух полуокружностей равны, т.к. они стягиваются равными хордами. Поэтому равны и дополняющие их до равных полуокружностей дуги AC и BC. Следовательно, равны опирающиеся на них вписанные углы AOC и BOC.

$ \angle$ACO = $ \angle$BCO = 90o, как вписанные углы, опирающиеся на диаметры. Поэтому ACB — одна прямая.

$ \cup$ AC = $ \cup$ CO = $ \cup$ CB, т.к. опирающиеся на эти дуги вписанные углы равны по 45o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 245

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .