Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

   Решение

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром в точке O делит отрезок AO пополам. Найдите угол между касательными, проведёнными из точки A.

Подсказка

Если катет прямоугольного треугольника вдвое меньше гипотенузы, то угол треугольника, противолежащий этому катету, равен 30^o.

Решение

Пусть B — одна из точек касания. Тогда в прямоугольном треугольнике OBA катет OB равен половине гипотенузы OA. Поэтому угол OAB равен 30^o, а угол между касательными равен 60^o.

Ответ

60^o.

Источники и прецеденты использования