Задача 52650

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса R. Найдите стороны трапеции, если её меньшее основание равно R.

Подсказка

Проведите радиус в точку касания с большей боковой стороной трапеции и примените теорему о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Пусть K — точка касания вписанной окружности (с центром O) с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно. Тогда

AK = AM = R - R = R, AK ^. BK = OK², BK ^. R = R².

Отсюда находим, что

BK = 3R, BC = CN + NB = R + 3R = 4R, AB = R + 3R = R.

Пусть K — точка касания вписанной окружности (с центром O) с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно. Тогда

AK = AM = R - R = R, AK ^. BK = OK², BK ^. R = R².

Отсюда находим, что

BK = 3R, BC = CN + NB = R + 3R = 4R, AB = R + 3R = R.

Пусть K — точка касания вписанной окружности (с центром O) с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно. Тогда

AK = AM = R - R = R, AK ^. BK = OK², BK ^. R = R².

Отсюда находим, что

BK = 3R, BC = CN + NB = R + 3R = 4R, AB = R + 3R = R.

Ответ

R, 4R, 2R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	315