Задача 52651

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.

Подсказка

Проведите радиус в точку касания с большей боковой стороной трапеции и примените теорему о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Пусть O — центр окружности, K — точка касания с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно.

Поскольку треугольник AOB прямоугольный, то

AB = 25, AK ^. AB = OA², BK ^. AB = OB².

Отсюда находим, что AK = 9, BK = 16. Кроме того,

R² = OK² = AK ^. BK = 9 ^. 16 = 144.

Поэтому R = 12. Следовательно,

AD = 12 + 9 = 21, BC = 12 + 16 = 28, CD = 2R = 24.

Пусть O — центр окружности, K — точка касания с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно.

Поскольку треугольник AOB прямоугольный, то

AB = 25, AK ^. AB = OA², BK ^. AB = OB².

Отсюда находим, что AK = 9, BK = 16. Кроме того,

R² = OK² = AK ^. BK = 9 ^. 16 = 144.

Поэтому R = 12. Следовательно,

AD = 12 + 9 = 21, BC = 12 + 16 = 28, CD = 2R = 24.

Пусть O — центр окружности, K — точка касания с большей боковой стороной AB трапеции ABCD, M и N — точки касания с меньшим и большим основаниями AD и BC соответственно.

Поскольку треугольник AOB прямоугольный, то

AB = 25, AK ^. AB = OA², BK ^. AB = OB².

Отсюда находим, что AK = 9, BK = 16. Кроме того,

R² = OK² = AK ^. BK = 9 ^. 16 = 144.

Поэтому R = 12. Следовательно,

AD = 12 + 9 = 21, BC = 12 + 16 = 28, CD = 2R = 24.

Ответ

24, 21, 25, 28.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	316