ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52652
Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается боковой стороны AB в точке F. Найдите площадь трапеции, если AF = m, FB = n, а меньшее основание трапеции BC равно b.


Подсказка

Проведите радиус в точку касания со стороной AB и примените теорему о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.


Решение

Пусть O — центр окружности; M, K, N — точки касания со сторонами BC, CD, AD соответственно, R — радиус окружности. Тогда

OF2 = BF . AF = mn, R = OF = $\displaystyle \sqrt{mn}$, CK = CM = CB - BM = b - n.

Поскольку OK2 = CK . KD, то

KD = $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$, AD = AN + ND = m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$.

Следовательно,

SABCD = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ . 2R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$ . 2$\displaystyle \sqrt{mn}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$$\displaystyle \sqrt{mn}$.

Пусть O — центр окружности; M, K, N — точки касания со сторонами BC, CD, AD соответственно, R — радиус окружности. Тогда

OF2 = BF . AF = mn, R = OF = $\displaystyle \sqrt{mn}$, CK = CM = CB - BM = b - n.

Поскольку OK2 = CK . KD, то

KD = $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$, AD = AN + ND = m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$.

Следовательно,

SABCD = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ . 2R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$ . 2$\displaystyle \sqrt{mn}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$$\displaystyle \sqrt{mn}$.

Пусть O — центр окружности; M, K, N — точки касания со сторонами BC, CD, AD соответственно, R — радиус окружности. Тогда

OF2 = BF . AF = mn, R = OF = $\displaystyle \sqrt{mn}$, CK = CM = CB - BM = b - n.

Поскольку OK2 = CK . KD, то

KD = $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$, AD = AN + ND = m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$.

Следовательно,

SABCD = $\displaystyle {\frac{BC+AD}{2}}$ . 2R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$ . 2$\displaystyle \sqrt{mn}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $\displaystyle {\frac{mn}{b - n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$$\displaystyle \sqrt{mn}$.


Ответ

$ \left(\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right.$b + m + $ {\frac{mn}{b-n}}$$ \left.\vphantom{b + m + \frac{mn}{b-n}}\right)$$ \sqrt{mn}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 317
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .