Информация о задаче

Задача 52654

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около окружности радиуса ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен 2arctg ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ . Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон.

Подсказка

Обозначьте половины оснований трапеции через x и y; найдите x, y и угол между боковой стороной и большим основанием.

Решение

Пусть Q — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD; N, M и K — точки касания вписанной окружности с меньшим основанием AD, боковой стороной AB и большим основанием BC соответственно; O — центр окружности. Обозначим AN = x, BK = y. Тогда

xy = OM² = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ , x + y = AN + BK = (NQ + QK)tg $\displaystyle \angle$ ANQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Из полученной системы находим, что x = ${\frac{2}{3}}$ и y = 2. Следовательно,

cos $\displaystyle \angle$ ABK = $\displaystyle {\frac{y-x}{y+x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ ABK = 60^o, MK = y = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	319