Задача 52655

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средняя линия трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу, как
3 : 5.  Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.

Подсказка

Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей данной трапеции с точкой касания окружности и боковой стороны, параллелен основаниям трапеции.

Решение

  Пусть O – центр окружности, P – точка касания с боковой стороной AB, F и T – точки касания окружности с основаниями AD и BC, M – середина AB, K – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции. Обозначим  OK = 3x,  OP = 5x.
  Поскольку  AP : PB = AF : BT = AK : KC,  то  KP || BC || OM.  Из прямоугольного треугольника OKP находим, что  KP = 4x.  Из подобия прямоугольных треугольников OKP и MPO находим, что  OM = ^OP²/_KP = ^25x/₄.
  Периметр описанной трапеции удвоенной сумме оснований, то есть равен  8OM = 50x.  Следовательно, искомое отношение равно  ^50x/_10πx = ⁵/_π.

Ответ

⁵/_π.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	320