Задача 52658

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Стороны треугольника относятся как  5 : 4 : 3.  Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.

Подсказка

Данный треугольник – прямоугольный.

Решение

  Как известно, данный треугольник – прямоугольный. Можно считать, что его стороны равны 3, 4, 5. Тогда радиус вписанной окружности равен
½ (3 + 4 – 5) = 1  (см. задачу 56847).
  Четырёхугольник, вершины которого центр окружности, точки касания с катетами и вершина прямого угла треугольника, – квадрат. Следовательно, расстояния от вершин острых углов треугольника до точек касания равны 2 и 3.