Задача 52665

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K – середина AD.
В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?

Подсказка

Заметьте, что  MN || AD.

Решение

  Пусть F – середина BC, Q – точка пересечения KF и MN, а P – точка пересечения MN и BK. Тогда  AM = AK,  BM = BF  и Q – середина MN.
  Поскольку  MN || AD,  то треугольники BMP и BAK подобны, как и треугольники KPQ и KBF. Поэтому  
  Следовательно,  PM = PQ = ¼ MN.

Ответ

1 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	330