Задача 52670

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около окружности радиуса R описана трапеция. Хорда, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции, равна a. Хорда параллельна основанию трапеции. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Докажите, что данная трапеция – равнобедренная.

Решение

  Пусть O центр окружности, P и Q – точки касания окружности с боковыми сторонами AB и CD трапеции ABCD, K и M – середины PQ и AB соответственно.
  Продолжив AB и CD до пересечения в точке F, получим равнобедренный треугольник QFP. Следовательно, трапеция ABCD – равнобедренная. Половину средней линии, отрезок MO, найдём из подобия треугольников PKO и OPM.

Ответ

^8R³/_a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	335