Задача 52671

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Площадь трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

Решение

EK || AB  в силу симметрии трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Пусть O – центр данной окружности, M – середина AB. Из прямоугольного треугольника AEO видно, что    Площадь равностороннего треугольника AEM равна    а трапеция ABKE разбивается на три равных треугольника AEM, BKM и EMK.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	336