Информация о задаче

Задача 52673

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.

Подсказка

Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

Решение

Поскольку трапеция вписанная, то она — равнобедренная. Пусть r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей.

Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Поэтому r = $\sqrt{2\cdot 8}$ = 4.

Диагональ трапеции — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 (высота трапеции, опущенная из вершины меньшего основания на большее) и 10 (проекция диагонали на большее основание, равная длине средней линии). Эта диагональ видна из вершины большего основания трапеции под углом $\alpha$ , синус которого равен ${\frac{4}{5}}$ (угол боковой стороны с основанием). Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{\sqrt{8^{2} + 10^{2}}}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{41}}{\frac{8}{5}}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{41}}{4}}$ .

Ответ

4; ${\frac{5\sqrt{41}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	338