Информация о задаче

Задача 52674

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD с углом A, равным 60^o, проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону CD в точке E. В треугольник ECB вписана окружность радиуса R. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Подсказка

Треугольник с вершинами в точке E и в центрах окружностей — прямоугольный.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных соответственно в треугольник BCE и в трапецию ABED. Треугольник O₁EO₂ — прямоугольный, т.к. угол O₁EO₂ — прямой (угол между биссектрисами смежных углов). Треугольник BCE — равносторонний

( $\displaystyle \angle$ BEC = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ EBC = 60^o),

O₁E = 2R, высота EM равна 3R. Поэтому

O₂B = EM = 3R.

Тогда

EO₂ = O₂Btg $\displaystyle \angle$ O₂BE = 3Rtg30^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

O₁O₂ = $\displaystyle \sqrt{4R^{2} + 3R^{2}}$ = R $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Ответ

R $\sqrt{7}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	339