ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52677
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма, если его стороны равны a и b (a < b).


Подсказка

Полученные трапеции равны между собой. Пусть точка касания делит сторону, равную a, на отрезки x и y. Тогда радиус каждой окружности равен $ \sqrt{xy}$.


Решение

Полученные трапеции равны между собой. Точка касания меньшей стороны параллелограмма делит эту сторону на отрезки с длинами x и y, (x + y = a). Тогда радиус окружности равен $ \sqrt{xy}$, высота параллелограмма равна 2$ \sqrt{xy}$, большая сторона равна b = y + 2$ \sqrt{xy}$ + x. Тогда

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{xy}}{x + y}}$ = $\displaystyle {\frac{b - a}{a}}$,

где $ \alpha$ — искомый угол.


Ответ

arcsin$ \left(\vphantom{\frac{b}{a} - 1}\right.$$ {\frac{b}{a}}$ - 1$ \left.\vphantom{\frac{b}{a} - 1}\right)$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 342

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .