Информация о задаче

Задача 52682

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC с периметром 2p величина острый угол ABC равен $\alpha$ и AC = a. В треугольник вписана окружность с центром в точке O. Найдите площадь треугольника AOC.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны треугольника.

Решение

Пусть K — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Тогда

BK = p - a, OK = BKtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = (p - a)tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Поскольку OK — радиус вписанного круга, то

S_AOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a(p - a)tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ a(p - a)tg ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	347