Задача 52686

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Построения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.

Подсказка

Искомая прямая является касательной к некоторой окружности, вписанной в этот угол.

Решение

Пусть A — вершина данного угла, 2p — данный периметр. Отложим на сторонах угла точки B и C так, что AB = AC = p. Впишем в угол окружность, касающуюся его сторон в точках B и C.

Пусть M — точка внутри данного угла. Если точка M окажется внутри криволинейного треугольника ABC, ограниченного отрезками AB, AC и меньшей дугой BC окружности, то проведём через точку M касательные к окружности.

Пусть одна из проведённых касательных пересекает стороны AB и AC данного угла в точках P и Q соответственно и касается окружности в точке K. Тогда

AP + PQ + QA = AP + (PK + KQ) + QA = (AP + PK) + (KQ + QA) =

= (AP + PB) + (CQ + QA) = AB + AC = 2p.

Аналогично для второй касательной. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения (если точка M лежит на меньшей дуге BC и отлична от точек B и C, то эти решения совпадают).

Если точка M лежит внутри угла, но вне указанного криволинейного треугольника, то задача не имеет решений.

Пусть теперь точка M расположена вне угла. Если одна из касательных к построенной окружности отсекает от данного угла треугольник, для которого эта окружность — вневписанная, то отсечённый треугольник — искомый (доказательство аналогично изложенному выше). В этом случае задача имеет единственное решение.

В остальных случаях решений нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	351