ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52691
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.


Подсказка

Угол между радиусами, проведёнными в точки касания, дополняет угол между касательными до 180o.


Решение

Обозначим $ \angle$APB = $ \alpha$. Пусть M — точка касания окружности с прямой XY. Тогда

$\displaystyle \angle$XOY = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$AOM + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BOM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \angle$AOM + $\displaystyle \angle$BOM) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(180o - $\displaystyle \alpha$) = 90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 356

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .