Задача 52692

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.

Подсказка

Докажите, что MP и NQ – высоты треугольника NOM.

Решение

  Пусть X и Y – точки касания полуокружности со сторонами BC и AC. Тогда  ∠NOM = ½ ∠XOY = ½ (180° – 60°) = 60°,  ∠CXY = 60°.
  Поэтому точки M, X, O и P лежат на одной окружности, причём MO – диаметр этой окружности. Следовательно, MP – высота треугольника MON. Аналогично NQ – высота треугольника MON.
  Поэтому треугольник POQ подобен треугольнику MON с коэффициентом  cos 60° = ½.  Следовательно,  MN = 2PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	357