Задача 52694

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120^o . Найдите площадь треугольника.

Решение

Обозначим через x расстояние от вершины угла в 120^o до ближайшей точки касания и применим теорему косинусов. Получим уравнение x2+ 7x - 4 = 0 , из которого находим, что x = .
Пусть p — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, S — площадь. Тогда

p=3+4+ =, r = x tg 60^o=x=.
Следовательно,
S=pr=· = 4.

Ответ

4 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	359