Задача 52702

Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

Подсказка

Если r и R — радиусы окружностей, то AB = .

Решение

Первый способ.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

BC = AB = BD = 4.

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Второй способ.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

O₁A ^. O₂A = AB² = 16.

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Первый способ.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

BC = AB = BD = 4.

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Второй способ.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

O₁A ^. O₂A = AB² = 16.

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Первый способ.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

BC = AB = BD = 4.

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Второй способ.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

O₁A ^. O₂A = AB² = 16.

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	367