Задача 52703

Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке C. Радиусы окружностей равны 2 и 7. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку C, пересекается с другой их общей касательной в точке D. Найдите расстояние от центра меньшей окружности до точки D.

Подсказка

Примените свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры меньшей и большей окружностей. Угол O₁DO₂ — угол между биссектрисами смежных углов, поэтому O₁DO₂ = 90^o.

Из прямоугольного треугольника O₁DO₂ находим, что

O₁D² = O₁C ^. O₁O₂ = 2 ^. 9.

Следовательно, O₁D = 3.

Пусть O₁ и O₂ — центры меньшей и большей окружностей. Угол O₁DO₂ — угол между биссектрисами смежных углов, поэтому O₁DO₂ = 90^o.

Из прямоугольного треугольника O₁DO₂ находим, что

O₁D² = O₁C ^. O₁O₂ = 2 ^. 9.

Следовательно, O₁D = 3.

Пусть O₁ и O₂ — центры меньшей и большей окружностей. Угол O₁DO₂ — угол между биссектрисами смежных углов, поэтому O₁DO₂ = 90^o.

Из прямоугольного треугольника O₁DO₂ находим, что

O₁D² = O₁C ^. O₁O₂ = 2 ^. 9.

Следовательно, O₁D = 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	368