Задача 52721

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Построения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте общие касательные к двум данным окружностям.

Подсказка

Сведите задачу к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету (или примените гомотетию).

Решение

Первый способ.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов R и r (R > r). Предположим, что некоторая прямая касается окружностей в точках A и B соответственно, причём эти точки лежат по одну сторону от прямой O₁O₂. Опустим перпендикуляр O₂H из центра меньшей окружности на радиус O₁A большей окружности, проведённый в точку касания. Тогда O₁ABO₂ — прямоугольник. В прямоугольном треугольнике O₁HO₂ известны катет O₁H = R - r и гипотенуза O₁O₂.

Отсюда вытекает следующее построение. Прямоугольный треугольник O₁HO₂ строим по катету R - r и гипотенузе O₁O₂. Продолжение катета O₁H за точку H есть искомая точка касания A. Через точку A проводим прямую, перпендикулярную O₁A, и опускаем на неё перпендикуляр O₂B из точки O₂.

Поскольку O₁ABO₂ — прямоугольник, то

O₂B = AH = O₁A - O₁H = R - (R - r) = r.

Значит, точка B лежит на окружности с центром O₂, а т.к. O₂B AB, то прямая AB — касательная и к этой окружности.

Поскольку возможны ровно два положения точки H относительно прямой O₁O₂, то задача имеет два решения.

Построение в случае, когда R = r, очевидно.

Построение общих внутренних касательных аналогично изложенному. Оно отличается лишь тем, что прямоугольный треугольник O₁HO₂ строится по гипотенузе O₁O₂ и катету R + r (а не R - r).

Ясно, что построение общих внутренние касательных возможно лишь в случае, когда расстояние между центрами окружностей не меньше суммы радиусов. Если O₁O₂ = r + R, то общая внутренняя касательна единственна (в этом случае окружности касаются внешним образом).

Второй способ.

Пусть R > r. Найдем центр гомотетии данных окружностей. Для этого проведём произвольный радиус O₁M₁ первой окружности и параллельный ему радиус O₂M₂ второй окружности. При этом точки M₁ и M₂ могут лежать либо по одну сторону от прямой O₁O₂, либо — по разные.

В каждом из этих случаев искомый центр Q гомотетии есть точка пересечения прямых M₁M₂ и O₁O₂ (в первом случае коэффициент гомотетии равен , во втором — ( - ).

Поскольку при гомотетии касательная переходит в касательную (прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью), то достаточно провести из точки Q касательную к одной из окружностей. Ясно, что она будет касательной и ко второй.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	386